Lagrangiana

Spread the love

Ogni tanto mi scappa da scrivere un pensiero su altri argomenti, e la Fisica è sempre fonte di ispirazione.

Ogni tanto indosso questa T-shirt che ho acquistato al CERN di Ginevra qualche tempo fa

La lagrangiana del Modello Standard

La formula scritta sulla maglietta è la lagrangiana del modello standard.

Invariabilmente, ogni volta che la indosso, mi chiedono: cos’è una lagrangiana? Oppure cosa vuol dire Modello Standard?

La cosa mi fa piacere perché ragionare di Fisica mi piace sempre un sacco.

La lagrangiana è una funzione inventata dal matematico italo-francese Giuseppe Luigi Lagrange nel XVIII secolo nell’ambito della disciplina denominata Meccanica Analitica, che è un ramo della Fisica Matematica nella quale la Meccanica di Newton viene formulata come una teoria matematica astratta.

Che senso ha astrarre una materia pratica come la meccanica?

La cosa ha senso qualora ci si imbatta nel desiderio di voler evitare di reinventare la ruota ogni volta che ci si presenta un problema leggermente diverso dal precedente e dover ogni volta ristudiarlo da capo ripercorrendo per il 90% la strada fatta in precedenza. Uno degli aspetti potenti della Matematica è la capacità di classificare i problemi e trovare strategie di soluzione comuni per intere classi di problemi. Astrarre vuol dire proprio questo: individuare caratteristiche comuni a problemi in apparenza diversi e arrivare alla soluzione con un unico strumento!

Quando alle superiori (al liceo, o all’itis) ci veniva dato un problema di meccanica (tipo: un rullo è libero di muoversi su un piano inclinato ecc.) non sapevamo ancora che esistessero due tipi di approccio per arrivare alle cosiddette equazioni del moto – delle equazioni differenziali che, una volta risolte, ci dicono come evolverà il sistema date certe condizioni iniziali (possiamo calcolare quanto ci mette il barile a rotolare fino in fondo per esempio).

Un approccio è quello di cercare di scrivere direttamente l’equazione di Newton

F = ma = m \ddot{x}

dove x è la posizione del baricentro del sistema per esempio. Per problemi semplici è sicuramente la via più diretta. Ma quando le cose si fanno complicate (orbita di un satellite attorno ad un corpo celeste, pendoli doppi, etc..), Lagrange ha dimostrato che si perviene alle stesse equazioni per questa via:

si calcola l’energia cinetica del sistema che è una funzione della velocità:

T = T(\dot{x})

poi si calcola l’energia potenziale del sistema (se ad esempio siamo in un problema in cui c’entra la gravità, esiste il potenziale gravitazionale):

V = V(x)

che è funzione della posizione. Si definisce la funzione lagrangiana o, più in breve, lagrangiana:

L(x, \dot{x}) = T - V

e si dimostra che l’equazione differenziale

\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}-\frac{\partial L}{\partial x} = 0

è equivalente alla equazione di Newton che descrive il sistema. In sistemi molto complessi è molto più facile pervenire alle equazioni del moto attraverso la lagrangiana che non “a naso” cercando di costruire direttamente le equazioni di Newton.

La lagrangiana della maglietta è un formalismo che si usa in teoria dei campi ed è l’estensione a questa disciplina del concetto che Lagrange elaborò per risolvere problemi di Meccanica Classica (lui non la chiamava così, siamo noi che abbiamo attaccato l’aggettivo “classica” per distinguerla dalla Meccanica Relativisitica o dalla Meccanica Quantistica).

A grandi linee ogni riga della maglietta è un pezzo della teoria del Modello Standard (che è il modello che spiega tre delle 4 forze fondamentali dell’Universo: la forza elettromagnetica – che ti fa tenere il cane per il gunzaglio, la forza forte, che tiene insieme i nuclei degli atomi, la forza debole, che permette alle particelle di trasformarsi, e la forza gravitazionale, che ci tiene attacati per terra ma che finora è la grande esclusa dal Modello Standard) che prevede

  • l’Elettromagnetismo (prima riga),
  • l’interazione forte e debole (interazione di un bosone con un fermione: seconda riga),
  • l’interazione dei fermioni con il campo di Higgs (terza riga) che è il campo che dona la massa alle particelle;
  • la quarta riga (fino a -V(\Phi)) descrive l’interazione dei bosoni della forza debole (i bosoni W^{\pm}, Z_0 previsti a Abdus Salam negli anni ’60 e identificati da Carlo Rubbia al CERN nel 1984) con il campo di Higgs
  • l’ultimo termine -V(\Phi) è il potenziale del campo di Higgs

I bosoni sono le particelle mediatrici della forza (la più famosa è il fotone, che veicola l’interazione elettromagnetca). I fermioni sono le particelle di materia ordinaria (protoni ed elettroni per esempio).

Come vedete in questa lagrangiana non si parla di gravità. includere la gravità nella teoria di campo quantistica è una delle sfide che stanno impegnando i fisici e i matematici da mezzo secolo e ancora non si vede la luce in fondo al tunnel.

Come potete immaginare, la Lagragiana nell’ambito della Meccanica Quantistica ha un ruolo un po’ diverso da quello della Meccanica Classica: invece di fornirci le leggi orarie del moto, o “traiettorie” x(t), ci fornisce l’evoluzione di un campo \Phi(t).

Per chi volesse approfondire, qui è spiegato meglio senza addentrarsi troppo nei dettagli.

Fatemi siete arrivati fin qui se vi è piaciuto l’articolo.

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato.

Questo sito usa Akismet per ridurre lo spam. Scopri come i tuoi dati vengono elaborati.